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Juros compostos, crescimento econômico e produção de riqueza do País: ouça e faça sua revisão em qualquer lugar | Arte: Luciana Lino

Conheça o Estudão, o podcast que ajuda você a se dar bem no Enem

Professores de cursinhos simplificam conteúdos sobre matemática financeira e economia que podem cair nas provas do vestibular

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Você está estudando para o Enem e ainda fica com dúvida sobre juros compostos ou funções exponenciais? Então o Estudão está aqui para te ajudar!

Em seis episódios, professores de variados cursinhos de São Paulo explicam de maneira prática como relacionar conteúdos de matemática e geografia ao universo financeiro e econômico, atendendo a uma nova exigência do Ministério da Educação.

Você pode ouvir nosso podcast no ônibus, enquanto arruma o quarto ou naqueles 15 minutinhos antes de alguma prova.

Confira a série abaixo:

1. Juros simples e compostos

O professor de matemática Giuseppe Nobilione, do curso Objetivo, ensina, de forma didática, como estudar juros simples e compostos para o Enem e vestibulares em geral:

Luciana: Sejam bem-vindos ao Estudão, a série que vai apresentar temas ligados à matemática financeira e economia que podem cair no Enem! É, não são apenas lágrimas, meus queridos… Em seis episódios, vamos trazer seis tópicos diferentes, explicados por professores de cursinho. É uma aula em formato de podcast! Nesse programa, recebemos o professor Giuseppe Nobilione, do cursinho Objetivo, que vai ensinar sobre juros simples e juros compostos. Professor, muito obrigada pela sua participação no programa.

Giuseppe: Pois não, estou à disposição.

Luciana: Então explica pra gente: o que são juros simples e juros compostos?

Giuseppe: Os juros simples são aqueles que são sempre calculados em cima do capital inicial. Vamos pegar um exemplo: se eu fizer um empréstimo de R$100 a um juros de 2% ao mês, no primeiro mês, vai render R$2. No segundo mês, também R$2. No terceiro mês, também R$2. É um juro que ninguém quase mais utiliza. Talvez de pai para filho, mas filho também não paga o pai, então juros simples ou compostos não faz diferença…

(risos)

Giuseppe: Mas seria isso: os juros simples são calculados sempre em cima do capital inicial. Certo?

Luciana: Certo.

Giuseppe: Já o juro composto, que todo mundo usa, que é o que mata as pessoas que devem, é aquele que é calculado a mês a mês e que acumula. Se eu tenho R$100 a um juros de 10% ao mês, então rendeu R$10 no primeiro mês. Se rendeu R$10, o novo capital passa a ser R$110. No segundo mês, o juro será calculado em cima de R$110 reais. Com 10%, já vão dar R$11. Junta esses R$11 reais e no próximo mês vai dar R$121, e assim por diante.

Luciana: Então vai acumulando?

Giuseppe: Vai acumulando. Você veja que, não parece porque peguei um exemplo de
R$100, mas se você pegar um dinheiro grande, o negócio fica feio.

Temos o exemplo concreto do cartão de crédito – é uma maravilha, mas também é uma desgraça. É uma maravilha porque você puxa o cartão, paga e vai embora, mas não pode esquecer que tem que pagar na hora certa. Se você pagar na hora certa, vencidos os 30 dias, você não paga juros nenhum, foi um excelente negócio. Mas se você não pagar e ficar devendo, essa dívida se acumula de maneira violenta.

Vamos supor que temos um capital que o cartão de crédito cobra juros de mais de 10% ao mês. Você já olhou a fatura de um cartão de crédito?

Luciana: Já, muitas vezes.

Giuseppe: Mas olhou do lado o que está escrito? Está bem pequenininho: “os encargos financeiros desta fatura são de apenas 13% ao mês”, é um absurdo.

Vamos supor que os juros sejam de 10% ao mês. Se você fez um empréstimo, pagou uma conta, comprou uma geladeira, qualquer coisa, ficou devendo e não conseguiu pagar, um ano depois o valor fica multiplicado por 3.

Quanto ao cálculo: no caso dos juros simples, tem aquela fórmula: Capital x taxa x tempo, que acho que é bem intuitiva. Se eu tenho R$100 e vão me pagar 10% de 100 reais, no fim do mês, vão me pagar 10 reais. No outro mês, mais 10 reais. No outro mês, mais 10 reais. Qual vai ser meu juro? 10 + 10 + 10… (O número de meses). O capital, no caso 100, x a taxa, 10%, x o tempo.

Ou pode fazer uma regrinha de três que os alunos gostam tanto de fazer, e às vezes fazem quando não pode, porque só se pode usar regra de 3 quando for variação linear, e neste caso de juros simples pode. Se a taxa for de 100%, significa que a cada R$100, eu ganho
R$10. Se eu tenho um capital C, vou ganhar um determinado valor e calculo isso por mês. Em todo mês, os juros são os mesmos. Tem um pequeno detalhe: você calcula os juros.
O montante é o capital que você investiu + o rendimento que esse capital gerou. A soma dos dois é o valor atualizado do seu dinheiro. O importante é que o juro é sempre calculado em cima do valor inicial. Se eu apliquei R$100 e a taxa é de 10% ao mês, todo mês eu ganho R$10. Três meses depois, eu ganhei R$30. Juntando com os R$100 que eu tinha, eu tenho
R$130. Pequenininho ainda, né?

Luciana: É! (risos)

Giuseppe: E o juro composto? O juro é sempre calculado em cima do valor anterior. Eu tenho um certo capital – se os juros que vão correr em cima desse capital são de 10% ao mês, quanto que esse capital passa a valer? O que valia + 10% do que valia. Isso dá 110%, que é 1,1. Então se eu tenho um capital e apliquei a 10% ao mês, no mês seguinte eu tenho 1,1 x o capital. Do primeiro pro segundo mês, vou multiplicar por 1,1. Fica 1,1². No fim do terceiro mês, 1,1³. Depois de n meses, aquele capital que você tomou emprestado, fica multiplicado por 1,1 elevado a n (1,1^n). Aquele exemplo que eu dei, eu calculei 1,1^12 (de 12 meses). Eu fiz na calculadora e deu 3 e pouco, quer dizer que o capital ficou multiplicado por 3. Se fosse para você receber seria ótimo, mas geralmente é pra você pagar, e você paga 3 vezes o valor aplicado.

Neste caso, o valor final já conta o capital incluindo os juros. Então se você quiser saber quanto foi de juros, você tem que pegar o valor final e descontar o capital inicial. Nos juros simples, você calculava os juros e ele somava o capital original para ter o montante. Aqui, você acha o montante, acha o dinheiro atualizado. No exemplo que eu dei, se fosse um ano, ficaria multiplicado por 3. Se você descontar o capital inicial, ficaria multiplicado por 2, o que quer dizer que, de juros, você pagou o dobro do que você aplicou.

Luciana: E pra gente finalizar, como que isso pode cair no Enem ou em outros vestibulares?

Giuseppe: Isso cai e bastante. E não é só em relação a dinheiro: você pode pensar na população de uma cidade que tem 100 mil habitantes, se aumentar 10% ao mês, no final do ano vai ter triplicado. Podem ser juros, aumento de preços, aumento da temperatura da terra, do desmatamento… E não precisa ser só aumento, pode ser desconto também.

Luciana: O senhor pode dar um exemplo pra gente?

Giuseppe: Se alguma coisa aumenta 10%, multiplica por 1,1. Se diminui 10%, ele passa valer o que valia – 10%, dá 90% do valor inicial. Então multiplicaria por 0,9. Se aumentar, você multiplica por 1,1, ou 1,2, por 1,3, ou por 1,4. Se diminuir, é menos. Se diminui 10%, dá 0,9. Se diminui 20%, dá 0,8, e o cálculo é o mesmo. Por exemplo: se você compra um carro, depois de um ano ele desvaloriza, certo? Quando? Se ele desvalorizar, por exemplo, 10% ao mês, no final de um ano, ele está valendo muito menos.

Uma coisa boa de falar para os alunos é que, quando se trabalha com juros simples, é um negócio linear – aumenta sempre a mesma coisa. Quando se trabalha com juro composto, é uma variação exponencial – cresce e decresce muito depressa.

Luciana: Na mesma velocidade, né?

Giuseppe: Certo.

Luciana: Muito obrigada, professor!

Giuseppe: Espero que tenha ajudado em alguma coisa. Não usei letra nenhuma para tornar mais acessível para as pessoas. É certamente uma das coisas que muito caem no Enem e em grandes vestibulares.

Luciana: É bom que a pessoa já se prepara desde já!

Giuseppe: Verdade.

Luciana: Muito obrigada de novo, professor Giuseppe Nobilione, do cursinho Objetivo. Esse foi o primeiro episódio do Estudão, série produzida pela equipe de Focas do 8º Curso Estado de Jornalismo Econômico. Até a próxima!

2. Valor Presente

O conceito de valor presente às vezes causa confusão para quem estuda matemática financeira, já que pode ser considerado o oposto do cálculo de juros compostos. Para esclarecer melhor esse conceito, que tem questões específicas no ENEM, conversamos com o professor e coordenador de Matemática do Curso Etapa, Alexandre Borges:

Carla: Sejam bem vindos ao Estudão! Em seis episódios, traremos seis tópicos diferentes explicados por professores de cursinho. É uma aula em formato de podcast! Eu recebo o professor e coordenador de matemática do Curso Etapa, professor Alexandre Borges, e ele vai explicar um pouquinho sobre valor presente e continuando a explicação sobre juros compostos. Oi, professor.

Alexandre: Olá, tudo bem?

Carla: Tudo bom

Alexandre: Olá para todo mundo que está ouvindo também. É, então, falando um pouquinho sobre matemática financeira, quer dizer, só para deixar claro que matemática financeira é uma coisa muito atrelada a dinheiro, mas é um conceito que pode ser aplicado também a outras, outros fenômenos. Mas, basicamente, o que a gente faz? A gente trabalha com o dinheiro sendo um dinheiro jogado para um tempo futuro ou trazer um dinheiro do tempo futuro para o valor presente. Então isso a gente acaba trabalhando mesmo sem saber detalhes, a gente acaba trabalhando com isso quando vai fazer algum financiamento, ou quando a gente vai fazer algum empréstimo, ou mesmo quando vai comprar qualquer coisa parcelada, às vezes um eletrodoméstico ou às vezes fazer algum parcelamento de automóvel, por exemplo. A gente acaba trabalhando muito com taxa de juros, com valor futuro e valor presente.

Então assim, existem algumas situações do dia a dia que muitas vezes a gente não sabe como é que faz o cálculo. Então, eu gosto muito de citar, por exemplo, a antecipação do imposto de renda, que é uma coisa muito aplicada para muita gente. Então a pessoa, ela tem uma previsão de restituição de imposto de renda, por exemplo, de cinco mil reais. Só que essa previsão não é de hoje; mas essa pessoa gostaria muito de usufruir desse dinheiro hoje. Então, o que ela pode fazer? Ela vai em uma instituição financeira, geralmente em um banco, e ela negocia. O banco antecipa o imposto de renda para essa pessoa na data que ela deseja, quer dizer, em um período muito anterior. Só que, obviamente, essa pessoa, ela não vai receber os mesmos cinco mil reais. Com certeza, essa pessoa vai receber um valor menor do que os cinco mil. E por que isso acontece? Porque existe uma taxa de juros embutida que a gente deve descontá-la na hora de trazer para o valor presente. O que a gente chama de valor presente é o valor do hoje, do agora que a gente tem do dinheiro.

Então, da mesma forma que nos juros compostos a gente multiplica um valor por “um mais i”, elevado ao número de períodos, normalmente esse número de períodos é o número de meses, então quando você traz esse valor futuro para hoje, você deve dividir por “um mais i”. Então digamos, vamos fazer uma simulaçãozinha bem simples: se você pegar os mesmos cinco mil reais e trouxer para três meses anteriores, então assim, digamos que a taxa de juros seja aí uma taxa de juros de um por cento ao mês. Então tá, um por cento ao mês, o que é isso? Um por cento ao mês é um mais a taxa de um por cento, vai dar 1,01. Então o que você vai fazer? Se você quisesse antecipar esses cinco mil um mês, você pegaria esses cinco mil e dividiria por 1,01. Já dá um valor menor do que cinco mil.
Se você quer antecipar três meses, você vai pegar os mesmos cinco mil e vai dividir por 1,01 elevado ao cubo. Por que elevado ao cubo? Porque é juros sobre juros. Então, você está fazendo um desconto de três meses anteriormente, você está antecipando três meses. Você vai pegar os mesmos cinco mil e dividir por 1,01, elevado ao cubo. Obviamente isso vai dar um valor menor, em torno de uns quatro mil e pouquinho, mas é justamente esse desconto que faz com que o seu valor hoje, de quatro mil e alguma coisa, seja equivalente aos cinco mil do futuro.

A gente pode até fazer uma analogia desse assunto com outros assuntos do ensino médio. Por exemplo, quando a gente trabalha com sequências e progressões, as famosas PA e PG, quando você trabalha com um juros, quando você fala assim: “Olha, eu tenho hoje um capital de dez mil, e eu quero deixar aplicado no banco por um ano, por doze meses”, é uma taxa de, vamos pegar um valor para ficar fácil: dez por cento ao mês. Então assim, quando você pega esse dinheiro e aplica uma taxa de dez por cento, no mês seguinte você não tem mais os dez mil. Você tem os dez mil, vezes 1,1. O que é 1,1? É um mais 0,1, é um mais dez por cento. Isso é o valor que você vai ter daqui um mês.

O que o valor presente faz? O contrário. Digamos que você tenha daqui um ano, aquele valor, já multiplicado por 1,1 elevado a 12, quer dizer, um valor muito maior do que os 10 mil reais que você tem. Mas, se você quiser trazer esse valor para hoje, o que você faz? Você vai dividir por 1,1, elevado a 12. Então perceba que, quando você joga para o futuro, você está multiplicando por 1,1, vezes 1,1. A cada mês você está multiplicando por 1,1. O que é isso? É uma progressão geométrica de razão 1,1. Na verdade, de razão “um mais i”, não é?. Então cada vez que você vai multiplicando mês a mês por 1,1, você está progredindo nossa sequência, que é uma progressão bem conhecida né, progressão geométrica de razão “um mais i”, generalizando seria uma razão “um mais i”.

Quando a gente vai trazer o dinheiro para hoje, para o valor presente, a gente está fazendo o sentido contrário, é como se a gente tivesse um termo dessa PG lá na frente, o termo daqui a 12 meses e a gente quer trazer para hoje. Então, ao invés de multiplicar pela razão, a gente divide pela razão. Só que divide 12 vezes, então vai dividir por 1,1, elevado a 12. Então assim, é muito comum a gente trabalhar com esse tipo de mudança de dinheiro no tempo. Quer dizer, a gente só pode trabalhar com dinheiro em um tempo determinado. Então cinco mil reais são quanto? Depende. Hoje, é uma coisa. Daqui um ano, cinco mil reais é outra coisa, e a gente só pode somar dinheiro e subtrair dinheiro quando a gente está em uma data precisa.

A gente vê muitas questões de vestibulares trabalhando com esse conceito, mas expandindo também para outras situações. Então assim, não é porque a gente está falando sobre matemática financeira que tem que ser necessariamente ligado a dinheiro. A gente tem aplicações, por exemplo, de bactérias. Você está criando no laboratório uma cultura de bactérias, e você tem mil indivíduos, e esses mil indivíduos, eles aumentam sua população a uma taxa de 5 por cento ao dia, digamos assim. Então a cada dia que passa, essa população é multiplicada por 1,05. O que é 1,05? É um mais 5 por cento. Um mais cinco por cento vai dar 1,05. Então no dia seguinte, ela já tem mil vezes 1,05. E no outro dia? Os mil vezes 1,05 vezes 1,05 novamente. Então perceba que você está aplicando o mesmo conceito de dinheiro, que pode render juros, para uma população de bactérias, por exemplo. Então você pode fazer isso também.

E você pode também fazer isso com outras situações, em geografia tem muito desmatamento. Então você pode ver muitas situações assim: você pega a Floresta Amazônica, por exemplo. Digamos que ela tenha um desmatamento a uma taxa, quer dizer, a área desmatada decresce a uma taxa de cinco por cento ao ano, por exemplo. Então, o que acontece? Se ela está sendo desmatada, você está diminuindo a área. Então, você está multiplicando por um, menos a taxa. Então por que? Porque você está diminuindo, é um, menos a taxa de cinco por cento, é na verdade 95 por cento. Então a cada ano, você diminui cinco por cento. Então você tem uma área hoje, daqui a um ano essa área foi multiplicada por 0,95, que na verdade é um menos 0,5, e aí você vai multiplicando por um menos 0,05 novamente, 0,95 a cada ano. Então o que acontece? Você vai reduzindo a sua área gradativamente, e você pode fazer o cálculo para saber, por exemplo, quanto tempo vai levar para você chegar a uma área na metade daquilo que você tinha. Ou qual vai ser a área desmatada que você vai ter daqui a cinco anos, ou daqui a 10 anos, fazer uma projeção para o futuro.

Claro que em termos práticos, muitas vezes quando você está em um vestibular ou quando você está em uma prova, você não pode usar calculadora. E muitas vezes, as contas são meio complicadas para você fazer sem calculadora. Então faz-se muito uso do logaritmo, usa-se muito as informações de logaritmo para você poder estimar qual é o valor final, ou qual é o valor inicial quando você quer fazer a operação inversa, através do logaritmo, que é o expoente, você consegue chegar no valor final ou no valor inicial que foi pedido na questão.

Agora, muitas vezes, as questões que aparecem nas provas são questões onde você não precisa fazer cálculos muito exaustivos para você resolver. Eu tenho aqui por exemplo uma questão que caiu no ENEM, mais recente, agora da versão do ano de 2017, onde você tinha uma situação que você tinha um empréstimo sendo feito a uma taxa mensal de “i’ por cento. Então quer dizer, já é uma variável, “i” por cento, não é um valor determinado. E assim, o que acontecia? Você tinha os juros compostos, o empréstimo foi feito a juros compostos, e você tinha que pagar esse empréstimo em oito parcelas fixas, iguais a “p”. Então percebe que a gente está usando aqui todas as variáveis: o valor da parcela é “p”, não sei quanto é esse “p”, e a taxa mensal de juros é “i” por cento, também não sei quanto que é esse “i”. E o que acontece? Você vai pagando essas parcelas, mensalmente durante oito meses, mas chega um determinado mês, aqui na quinta parcela, ou seja, quinto mês, a pessoa que fez o empréstimo ela decidiu quitar o empréstimo dela. Ela não queria mais dever, ela não queria pagar as outras parcelas. Ela queria pagar naquele momento. Então percebam que o que ela está fazendo? Ela está antecipando aquela parcela “p”, que ela deveria pagar.

Então claro que se ela quiser pagar hoje, não faz sentido eu pagar hoje a parcela do mês seguinte se eu pagar o mesmo valor. Se daqui a um mês eu tenho que pagar “p”, é daqui um mês que eu tenho que pagar “p”. E hoje, quanto que é esse “p”? Esse “p” deve ser descontado a taxa de juros. Então o que a gente faz? A gente pega esse valor “p” do mês seguinte, traz para hoje, dividindo por um mais a taxa, por um mais “i”. Uma vez que você traz esse valor para hoje, então hoje esse valor “p” que daqui um mês você pagaria “p”, hoje esse valor é “p” dividido por um mais “i”.

Só que ele estava antecipando a sexta parcela. E a sétima parcela, o que ele tinha que fazer? A mesma coisa, ele vai antecipar dois meses. Essa parcela “p”, daqui a dois meses, quanto que vale hoje? Bom, ele teria que pegar esse “p”, que daqui dois meses vale “p”, e dividir por um mais “i” ao quadrado. Por que um mais “i” ao quadrado? Um mais “i” para antecipar um mês e um mais “i” para antecipar mais um mês. Então ele vai dividir o “p” por um mais “i” elevado ao quadrado. E a oitava parcela, que seria a última parcela, ele vai fazer a mesma coisa, só que ele está antecipando três meses. Então ele pega o “p” e divide por um mais “i” elevado ao cubo.

E a questão queria saber justamente qual era a expressão que representava isso. Era só mostrar que você realmente poderia antecipar essas parcelas mediante essa expressão matemática. Nenhum cálculo, nada, nenhuma conta para fazer, só teoria mesmo. Como é que a gente faz a antecipação, como é que a gente faz para o valor voltar para hoje. Então essa é uma questão bem característica, caiu no ENEM, é um assunto que está muito em voga hoje em dia. E lembre-se que só se cobra juros quando a gente tem uma variação de tempo. Juros é o custo do dinheiro no tempo. Se você não tem variação de tempo, não tem porque cobrar juros. Se eu vou comprar um produto hoje, e vou pagar hoje, não tem juros. Eu estou pagando no prazo certo, no momento da compra. Se eu for pagar isso depois de hoje, aí sim a gente tem um juros embutido, que aí é negociado, que a gente pode calcular quanto que é a taxa de juros, e assim por diante.

Carla: Bom, obrigada professor, esse foi o episódio de valor presente do Estudão. Obrigada pela presença, Alexandre Borges, que é professor e coordenador de matemática do Curso Etapa. Eu sou a Carla Bridi e essa é uma série de seis episódios produzida pela equipe de Focas do oitavo Curso Estado de Jornalismo Econômico. Obrigada, e até a próxima!

3. Porcentagem

Nesse podcast, aprenda ou revise como calcular porcentagens, aumento e redução percentual e a porcentagem que um número representa de outro. Inclui também um exercício do Enem explicado. O professor Rosendo Pires, do colégio CPV, trabalha aqui todos esses assuntos. Tudo isso para você chegar na prova 100% confiante.

Augusto: Bem vindos ao Estudão, a série que apresenta temas ligados a matemática financeira e economia que podem cair no Enem. É, meus amigos, não são só lágrimas. Hoje no programa, nós recebemos o professor Rosendo Pires do colégio CPV. Professor, obrigado por vir, boa tarde.

Rosendo: Por nada, boa tarde.

Augusto. Bom, vamos falar um pouquinho sobre porcentagem, que é o nosso tema de hoje. Porcentagem é um assunto que cai muito nos vestibulares e no Enem?

Rosendo: Sim. Porcentagem, o índice de incidência é muito alto, juntamente com alguns outros assuntos como funções, análise combinatória, probabilidade, estatística e também leituras de gráficos. É essencial que, ao fazer os exercícios, o aluno saiba ler bem os gráficos para poder fazer as contas que aparecem.

Augusto: Perfeito. E a porcentagem, em quais situações que costuma cair, de qual forma ela é perguntada?

Rosendo: Normalmente o ENEM usa situações do dia a dia. Eles tentam colocar situações do cotidiano para as pessoas, né, e também às vezes vinculado às situações de laboratório, de pesquisa, e aí o assunto ele incide de maneira bem diversificada, e a maioria tá associada à leitura de gráfico.

Augusto: Certo. Então, uma explicaçãozinha rápida sobre o que que é, exatamente, uma porcentagem.

Rosendo: Como o nome sugere, né, porcentagem. Significa por cento, quer dizer, a cada cem. Quando nós dizemos vinte porcento, significa vinte em cem – vinte por cento, vinte a cada cem. Esse vinte porcento que nós escrevemos, vinte porcento também pode ser analisado de outra forma, é só fazer a divisão: vinte sobre cem. Simplificando a fração, vai dar um quinto. Ou, se nós dividirmos um quinto, dá zero vírgula dois. É importante que o aluno, a hora que estiver fazendo um exercício, saiba as três maneiras de escrever – vinte porcento, um quinto e zero vírgula dois; na forma decimal, na forma de fração e na forma de porcentagem mesmo. É importante isso. Se não souber, ele vai ficar um pouquinho limitado, mas qualquer uma das notações, ele consegue resolver exercício.

Augusto: Aí pra você achar a porcentagem de um número você multiplica essa porcentagem, seja de qual forma for, pelo número em questão, certo?

Rosendo: Exatamente. Por exemplo, se eu quiser calcular vinte porcento de sessenta, eu calculo vinte sobre cem, vezes sessenta. E aí eu posso fazer a conta vinte sobre cem, um quinto, ou zero vírgula dois. Que daí no caso daria doze.

Augusto: E aí tem algumas, de fazer regra de três também, né?

Rosendo: A regra de três também é possível. No caso desse exercício, os professores de química normalmente utilizam regra de três. Daí, qual seria a conta a ser feita, né? Faria sessenta está para cem porcento assim como o x está para vinte porcento. Daí faz a proporção – multiplica em cruz – e acha o valor, também os doze. E na forma de encaminhar essa segunda situação, acaba caindo nos casos anteriores.

Augusto: Perfeito. E para calcular, digamos, uma variação percentual, né, um aumento, uma redução percentual, como é que se faz?

Rosendo: Vamos supor que eu faça uma aplicação financeira – fica mais fácil com exemplo para entender, né, pro entendimento.

Augusto: Perfeito.

Rosendo: Vou fazer uma aplicação financeira que me rende, uma aplicação em poupança rende um porcento ao mês. Digamos que eu coloque nessa aplicação dois mil reais. Então, como que eu vou calcular o valor após um mês? Vai ser os dois mil mais um porcento de dois mil. Essa conta, um porcento de dois mil aí, seria duzentos, né, então, seria vinte, daria dois mil e vinte. Essa conta, às vezes, é mais fácil fazer por um fator de aumento que nós chamamos, né. Aí na conta, duzentos mais um porcento de duzentos, dá para pôr o duzentos em evidência. Daí vai ficar duzentos vezes um mais um porcento. Um porcento é zero vírgula zero um. Então, bastaria fazer a conta duzentos vezes um vírgula zero um. Esse um vírgula zero um é o que nós chamamos de fator de aumento. Que também pode ocorrer em redução. Ao invés de ser um porcento de aumento, se fosse um porcento de redução, seria um menos zero vírgula um, que seria zero vírgula noventa e nove.

Augusto: Zero vírgula zero um.

Rosendo: Zero vírgula zero um, isso, que daria zero vírgula noventa e nove, né? Então bastaria multiplicar por zero noventa e nove. E aí, inclusive, se quiser fazer sucessivos, também dá, né. É a mesma ideia.

Augusto: Aí já entra nos juros compostos.

Rosendo: Isso, daí são juros compostos.

Augusto: Teria que elevar…

Rosendo: Isso.

Augusto: Enfim, temos um episódio sobre isso. E depois do, da, do, operação de juros você pode fazer o desconto, né?

Rosendo: Sim.

Augusto: O desconto como é que é calculado?

Rosendo: É, o desconto é a mesma ideia, né, de fazer um, ao invés de aumento, fazer uma redução. Se eu, por exemplo, eu fizer um aumento de vinte e cinco porcento, daí eu quero voltar ao valor antigo, eu não vou aplicar sobre esse aumento de vinte e cinco porcento o mesmo valor, vou aplicar um valor menor.

Augusto: Então se algo aumenta vinte e cinco porcento, para voltar ao valor original ele não cai vinte e cinco porcento?

Rosendo: Não, ele cai vinte. Tem que fazer a conta, ele vai cair vinte. É só multiplicar por zero vírgula oito, volta ao que é.

Augusto: Certo. Então vamos agora, para ter uma ideia um pouquinho mais prática, fazer alguns exercícios aqui do Enem de 2017, esse é o caderno rosa, correto?

Rosendo: Caderno rosa, caderno rosa.

Augusto: Certo, então a questão cento e oitenta do caderno rosa.

Rosendo: É, se o ouvinte tiver em mãos a prova, fica mais fácil para ele acompanhar a resolução, tá? Eu vou fazer a leitura aqui e fazer a resolução que é simples. A mensagem digitada no celular enquanto você dirige tira a sua atenção, e por isso deve ser evitada. Pesquisas mostram que um motorista que dirige um carro a uma velocidade constante percorre às cegas, isso é, sem ter visão da pista, uma distância proporcional ao tempo gasto ao olhar para o celular durante a digitação da mensagem. Quer dizer, né, se ele ficar mais tempo digitando, ele vai ficar sem perceber nada, vai ficar às cegas. Considere que isso de fato aconteça. Considere que dois motoristas, x e y, dirijam com a mesma velocidade constante e digitam a mesma mensagem em seus celulares. Suponha ainda que o tempo gasto pelo motorista x olhando para o celular enquanto digita a mensagem corresponde a vinte e cinco porcento do tempo gasto pelo motorista y para executar a mesma mensagem. Aí dá para associar uma ideia – eu, que sou mais lento para digitar, com um rapaz jovem digitando rapidinho. Então ele demora vinte e cinco porcento do tempo que eu demoraria para fazer a digitação. Daí a pergunta, no caso do ENEM ele pergunta a razão entre as distâncias percorridas às cegas por x e de y, nessa ordem, é igual a. Qual a distância percorrida? Bom, isso dá para fazer de cabeça. Se ele demora vinte e cinco porcento do tempo, então, do tempo gasto pelo outro, ele vai ficar vinte e cinco porcento do tempo que o outro ficaria distraído, né, às cegas, tá? Daí, ou seja, um quarto é a resposta.

Augusto: Nesse caso aí foi até uma simples, uma pergunta bem simples, porque vinte e cinco porcento a gente já sabe, já costuma saber que é um quarto.

Rosendo: É um quarto, né, mas porém, se não interpretar direito, nas alternativas, se for tentar ir direto, né, poderia responder quatro sobre um.

Augusto: É verdade. Por isso que é importante também ter atenção na leitura.

Rosendo: Exatamente, a leitura no ENEM é essencial. O texto, ele é longo, mas tem coisas que você pode ir filtrando e só pega os dados que são interessantes. Tem coisas que não precisa.

Augusto: Certo. Então para encerrar aqui, vamos, vamos falar só algumas fórmulas para as pessoas saberem pros cálculos de porcentagem, pra que podem, para poderem aplicar sempre. Como o senhor falou, quando você sabe a fórmula, fica mais fácil, em qualquer situação você pode aplicar. Então vamos lá: para calcular uma mudança percentual, como é que a gente faz?

Rosendo: Com acréscimo ou com redução?

Augusto: Acréscimo.

Rosendo: Acréscimo, então daí você pega o valor inicial e multiplica já direto por um mais a taxa.

Augusto: A taxa em decimal?

Rosendo: Em decimal, mas pode ser também na forma de porcentagem, não tem problema nenhum, tá? Se for vinte porcento, pode escrever vinte sobre cem. Isso se for um acréscimo.

Augusto: Um acréscimo percentual. O número vezes um mais a porcentagem, a taxa. Queda percentual.

Rosendo: Se for queda, a mesma coisa, é um desconto que vai ser feito. Você pega o valor normal e multiplica por um menos a taxa.

Augusto: Um menos a taxa, perfeito.

Rosendo: E é importante ressaltar que se, tenha cuidado com isso: tem um aumento percentual, pra voltar ao preço antigo a redução não é a mesma. Não é a mesma. E aí, se você tiver que fazer as contas, você escreve normal, como se o valor inicial fosse… O novo valor é o inicial e o final é o que você quer voltar de novo atrás. Tá? É só montar as equações que sai direitinho, você chega na resposta.

Augusto: Certo, e quando nós temos dois números e queremos saber a mudança percentual. A gente pega o final, certo, o número final…

Rosendo: E divide pelo inicial. Isso. Se o final for maior, vai dar um vírgula alguma coisa. Então esse alguma coisa é quantos porcento ele é maior. Se for o contrário, vai dar zero vírgula oito. Daí você sabe que é vinte porcento menor. Aí nesse caso tem que subtrair um. Você faz a divisão…

Augusto: Perfeito, professor. Muitíssimo obrigado. Este foi o episódio três do Estudão. Obrigado pela presença, professor Rosendo.

Rosendo: De nada, foi um prazer ter vindo aqui, Augusto. Espero ter contribuído. Fico na torcida de quem pôde nos ouvir, fico na torcida que se saia bem nas provas e vá em frente. O ENEM não é nenhum bicho de sete cabeças. Leia com atenção quando você for fazer a prova e boas provas para você.

Augusto: Obrigado, esse foi o professor Rosendo Pires do colégio CPV. Esta é uma série de seis episódios produzido pela equipe de focas do 8o Curso Estado de Jornalismo Econômico. Até a próxima.

4. Funções exponenciais e logarítmicas

Sabia que aplicando as complicadas funções logarítmicas e exponenciais em contextos de finanças, como financiamento, empréstimos e investimentos, esses conceitos ficam mais fáceis de entender? Neste podcast, o professor Antônio Godoy, do cursinho popular da FEA, explica as funções, a relação entre elas e como aplicar os conceitos para arrasar no Enem.

Thaís: Sejam bem vindos ao Estudão, a série que apresentará temas ligados à matemática financeira e economia que podem cair no enem.
É, meus anjos, não são apenas lágrimas.
Em seis episódios, traremos seis tópicos diferentes, explicados por professores de cursinho. Uma aula em formato de podcast!
No programa de hoje, recebemos o professor Antônio Godoy, do cursinho da FEA, que nos ensinará mais sobre funções.
Olá professor Antônio, seja bem vindo

Antônio: Olá, tudo bem Thaís?

Thaís: Tudo bem. Eu, acho que como a maioria dos meus colegas que vão ouvir o podcast, não estamos muito acostumados com funções. Então se você pudesse nos apresentar pra esse mundo…

Antônio: Uma função normalmente é algo que relaciona aquilo que é chamado em matemática de uma variável independente com uma variável dependente. Só pra esclarecer, vamos imaginar que eu exemplifique para vocês a função y = 2x. x é a variável independente e y é a dependente. Se eu atribuo a x o valor 1, e eu escolhi isso de uma forma totalmente independente, o y vai ser 2 vezes 1 igual a dois (2×1 = 2). Então y é dependente do valor de x.
Tipicamente a gente vai falar hoje como uma parte está ligada a matemática financeira, nós vamos falar sobre funções exponenciais. Como o próprio nome diz a variável independente está no expoente.
o exemplo mais básico de função exponencial poderia ser y igual a dois elevado a x. então se eu falo x igual a 1, é 2 elevado a 1 que dá 2. se eu falar x igual a 2, é dois elevado ao quadrado que dá 4.
Para ilustrar agora com coisas práticas, você tem 100 reais e você quer aplicar, vou inventar aqui uma aplicação que não existe, é uma aplicação que dobra o seu dinheiro em um intervalo de tempo.
Então se você tem 100 reais hoje e você deixa o dinheiro aplicado e não saca os juros, em algum momento aqueles 100 reais vão virar 200 reais. Se você ainda deixa o dinheiro e passa um intervalo de tempo bastante longo, aqueles 200 reais viram 400 reais. Se a gente chega para um número mais perto da realidade, vamos pensar que você consiga fazer uma aplicação que te dê 10% de rendimento. Ou seja, o banco vai te pagar 10% de juros. Então se você aplicar 100 reais, com 10% de 100 você ganha 10 reais. E aí no final do período você tem os 100 que você já tinha mais 10 de juros e tem agora 110. Se você deixa o dinheiro lá, e deixar o dinheiro lá quer dizer juros compostos porque você vai ganhar juros em cima de juros, se você deixa por mais período, você não mais 10, você ganha mais 11. Então aqueles 110 viram 121, os 110 que você já tinha mais 11. se você deixar mais um período, ganha mais 12,10 e isso vai compondo. e você pode até calcular em quanto tempo,se eu aplicar 100 reais, eu vou obter 200 reais. Aí nós estamos diante de uma equação exponencial. Para resolvê-la, você vai precisar fazer uso de logaritmos. E você fala: meu deus, complicou. Não, não complicou. você tinha 100 reais e vai multiplicar esses 100 reais por 1,1. Por que 1,1? Porque 1 é o principal, o que você já tinha. E o 0,1 é o 10%. Então você vai multiplicar 1,1 quantos períodos você deixar o dinheiro aplicado l´pa. se você visualizar uma equação, ela poderia ser assim: 100 multiplicado por 1,1 elevado ao número de períodos que pode ser 1, 2, 3, quantos forem, dando igual ao resultado do dinheiro que você vai ter ao final ao final daquele período.
Se você imagina agora que vai colocar 100 reais, vou aplicar a 10% portanto vou multiplicar por 1,1 elevado a n e quero que esses 10 iniciais virem 200. Então sua equação é 100 multiplicado por 1,1 elevado a N dando igual a 200. e você pode simplificar e falar olha, eu tenho 100 de um lado e 200 do outro, eu corto e fico 1 multiplicado por 1,1 elevado a N dando 2. eu tenho agora, de forma muito simplificada, 1,1 elevado a N igual a 2. Ora, essa é uma equação exponencial. E pra resolver uma equação exponencial tipicamente eu preciso ou igualar expoentes, o que não dá pra fazer nesse caso, ou aplicar logaritmos. então se eu tenho 1,1 elevado a n igual a 2 é sinal que o logaritmo de 2 na base 1,1 é N.
Vou repetir, 1,1 elevado ao N deu 2, ou seja você dobrou o seu dinheiro. Aí você fala, poxa, como que eu calculo isso? Olha, você teve que elevar 1,1 a um determinado número para que chegasse ao 2. Isso é o inverso do logaritmo. O log de 2 na base de 1,1 é esse N.
Neste tipo de situação no enunciado da questão tipicamente eles já dão te dar quais os logaritmos que você eventualmente vai precisar mas você tem que de qualquer forma chegar a saber qual o logaritmo preciso.
Tem um cálculo mais simples. Nós estamos falando agora sobre você aplicar o seu dinheiro. e nós estamos sendo otimistas, falando que você consegue aplicar o dinheiro a 10% ao período. Hoje a Selic tá em torno de 6.

Thaís: Só pra explicar que a Selic é a taxa básica de juros da economia. Agora uma dúvida, função exponencial é isso que a gente tá falando do log ou tem mais?

Antônio: o resumo dela poderia ser, você pode ter uma função exponencial crescente, o básico é y igual 2 elevado a x. ou uma exponencial decrescente, y é igual a um meio elevado a x.

THAÍS: Além da função exponencial, a Base Nacional Curricular coloca função quadrática como uma das formas de aplicar em matemática financeira.

Antônio: uma função quadrática é essencialmente uma parábola. você tem aquela equação típica que você responde com a fórmula de báskara ax² + bx + c. Ela tem duas raízes e sempre um ponto de máximo ou um ponto de mínimo, pode ser espelhada, tem um eixo de simetria que passa entre as duas raízes. Uma aplicação mais prática em termos de finanças se você tiver que calcular um percentual que maximize o seu lucro, sendo que esse percentual seria atribuído a uma função quadrática. ou seja você calcula uma função quadrática, determina um ponto de máximo, esse ponto de máximo poderia ser o maior rendimento que você teria numa determinada aplicação.

Thaís: Função exponencial e função logarítmica são a mesma coisa?

Antônio: Elas são justamente o oposto. Vou dar o exemplo de uma função exponencial. 2 elevado ao cubo, elevado a 3, é igual a 8. Significa que 2 x 2 x 2 é igual a 8.
O que é a função logarítmica. O logaritmo de 8 na base 2. O que na prática significa perguntar o seguinte: a que número eu elevo 2, que é a base, pra conseguir chegar no 8. A resposta naturalmente será 3. Norte que são operações inversas. Numa eu parto do 2 elevo ao cubo e chego no 8. Aí eu falo pra eu voltar do 8 partindo do 2, que número que eu tenho que usar? Resposta 3. Então as funções logarítmicas e exponenciais são chamadas de funções inversas.

Thaís: Você conseguiria dar um exemplo da aplicação das duas funções pensando em financiamento?

Antônio: Olha, eu tenho uma aplicação aqui que dá 10% ao período, vamos falar ao ano só pra simplificar, e eu quero dobrar o meu dinheiro. Em quanto tempo isso acontece? É 1,1 elevado a N que dá 2. e a resposta pra isso é 7,3 se eu arredondo. Ou seja, vai te demorar 7 períodos. No caso 7 anos, pra você dobrar o seu dinheiro. Sendo que se você pegar emprestado, a sua dívida dobra em seis meses.

Thaís: E esse seria função logarítmica, exponencial ou tá tudo ali na mesma função?

Antônio: Tá tudo junto, porque 1,1 elevado a n igual a 2 é uma função exponencial. mas como você resolve a exponencial? Vai precisar usar logaritmo porque você não consegue resolver com a incógnita no expoente. Você precisa trazer a incógnita para a base e para isso vai precisar usar logaritmo. as coisas andam juntas, de mãos dadas.

Thaís: E como tudo isso que a gente conversou pode cair no Enem com esse viés de matemática financeira?

Antônio: Podem ser dois tipos de problema: calcular para duas aplicações distintas qual a mais rentável e aí estamos falando da que vai dar a maior taxa de juros. Ou calcular em quanto tempo você dobra ou triplica seu investimento ou a dívida dependendo do que o enunciado da questão estiver propondo.

Thaís: Então o que de básico uma pessoa precisa ter para resolver um problema com logaritmo que está nesse mundo de finanças.

Antônio: O básico de logaritmo vai ser ter o conhecimento das funções operacionais básicas: que o log de um produto é a soma dos dois produtos, então log de A vezes B é log de A mais o log de B. log de A dividido por B é log de A menos o log de B. O logaritmo de um número elevado a X é X vezes o logaritmo daquele número. Essas propriedades dos logaritmos são essenciais para quando você for tratar uma função exponencial ligada a problemas do sistema financeiro. e repito, os logaritmos deverão ser sempre dados como parte do enunciado porque você não vai ter acesso a uma calculadora.

Thaís: Esse foi o episódio de funções do Estudão. Obrigada, professor Godoy, do cursinho da FEA, pela presença. Essa é uma série de 6 episódios produzida pela equipe de Focas do 8º Curso Estado de Jornalismo Econômico. Até a próxima.

Antônio: Tchau gente, boa sorte.

5. PIB e Crescimento Econômico 

PIB, crescimento e atividade do País, como esses temas podem cair no ENEM? Os professores Hugo Anselmo, de Geografia e Mariana Sartori, de Matemática, do cursinho Anglo Vestibulares, tiram nossas dúvidas e dão boas dicas para maior domínio dos conteúdos na hora da prova.

Victoria: Sejam bem-vindos ao Estudão. A série que apresentará temas ligados a matemática financeira e economia que podem cair no ENEM. Para você aluno ficar um pouco mais preparado para a prova. Em seis episódios, trataremos seis tópicos diferentes, explicados por professores de cursinho. Uma aula em formato de podcast. No programa de hoje, recebemos os professores Hugo Anselmo e Mariana Sartori do cursinho Anglo Vestibulares. O Hugo é professor de geografia e Mariana dá aulas de matemática. Ambos nos ensinaram tudo, ou quase tudo, que vocês precisa saber sobre PIB, crescimento e atividade do país. Olá, professores.

Mariana: Olá.

Hugo: Olá, Victoria.

Victoria: Bom, o que vocês têm para contar para contar para gente, para nossos alunos, sobre PIB, crescimento e atividade do país.

Hugo: Bom, vamos lá. A gente tem que ter em mente que PIB é um assunto bastante comum em textos, noticiários, na internet e etc. O que isso quer dizer? O PIB nada mais é que um indicador econômico, um indicador estatístico que mostra para a gente como que é gerada, como que é produzida, toda a riqueza de um determinado país. Além disso, o PIB também é bastante utilizado para comparar como está o crescimento de um país em relação ao outro, qual o país que tem o maior PIB do mundo, qual o país que tem o menor, o segundo. Enfim, a gente consegue criar várias estatísticas em cima dessa informação e lembrar o seguinte, quando nos pensamos em Produto Interno Bruto, o PIB, a gente pensa, poxa, mas riqueza, o que isso quer dizer, o a gente quer extrair de informações a respeito disso. Primeiramente, a gente tem que lembrar que quem calculo o PIB no Brasil é o IBGE, Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. É claro que cada país do mundo vai ter seu instituto para fazer esse medição, para fazer esses cálculos. E o que acontece, o IBGE tenta extrair o máximo de informações possíveis a respeito do consumos das famílias, do consumo de bens de consumos, de investimentos feitos no mercado financeiro, no mercado de ações, dentre outras coisas. Além disso, a gente também leva em consideração a produção que é realizada em diferentes setores econômicas do Brasil. Por exemplo, o IBGE tenta calcular a atividade agropecuária, a atividade industrial, a atividade de serviços. A partir de todas essas informações a gente tenta definir o que é um PIB de um país. Isso é feito anualmente pelo IBGE, porém de tempos em tempo, trimestralmente, eles também liberam algumas prévias, alguns dados, alguns indicadores para gente ter uma noção básica de como o país está indo naquele determinado ano.

Mariana: O Hugo falou que o PIB serve bastante para comparar os países, a quantidade de riqueza produzida por cada país. Acho que é legal a gente pensar também em como isso reflete dentro do Brasil, em como a gente consegue comparar um ano com o outro. Se a gente pensa em quantidade de dinheiro, o PIB é uma quantidade de dinheiro, né. O quanto que o país produziu. Vale a pena a reflexão, eu acho, de será que a quantidade de dinheiro diz a mesma coisa de um ano para o outro. Por exemplo, será que um milhão de reais hoje é a mesma quantidade de dinheiro de 5 anos atrás. A gente vê que não é a mesma coisa, porque tem a inflação, o quanto que nosso dinheiro desvaloriza, o quanto que o preço das coisas sobe. E portanto, nosso poder aquisitivo fica mais baixo. Então você comparar só a quantidade de dinheiro produzida pode não ser muito eficiente. Por isso que a gente usa um índice que chama deflação, que transforma o PIB Nominal, que é esse que o Hugo falou, em PIB real, que serve para gente comparar de um ano para o outro. Então para eu conseguir comparar o PIB do ano passado com o PIB desse ano, para eu ver o quanto o país cresceu ou decresceu, percentualmente, a gente precisa trazer tudo para o mesmo ano base. E isso é feito por meio do deflator. Que é mais ou menos igual ao índice de inflação do país. É uma conta percentual que é feito. Então se eu falo que o PIB do Brasil aumentou 10%, eu estou falando do PIB Real, como se estivesse acontecendo tudo no mesmo ano. É isso que faz esse índice deflator.

Hugo: Bom, agora o que a gente pode comentar um pouquinho, e é bastante comum aparecer isso em provas, em questões do ENEM ou até mesmo de alguns outros vestibulares, é a questão de como está a economia do Brasil hoje, quais são os setores mais importantes, o que está crescendo, o que está decrescendo. Então, a gente pode falar um pouquinho até mesmo de dados. Bom, primeiramente a gente tem que lembrar que o Brasil passa, a partir do ano de 2014, 2015, em diante, por um momento de instabilidade econômica e, também, até mesmo política. E isso vai, consequentemente, refletir no crescimento, ou na redução, do PIB brasileiro. Então, se a gente pegar o Brasil, por exemplo, até 2014, nós tivemos um crescimento do nosso PIB. Então, em 2010, por exemplo, foi de 7,5%. Em 2013 nós tivemos um crescimento de 3%. Enquanto em 2014 já foi um crescimento bem menor, de 0,5%. Ou seja, a gente já estava iniciando um processo de estagnação do crescimento econômico. Já nos anos de 2015 e 2016, já foi o contrário. Nós tivemos, nesses dois anos, uma redução do PIB de 3,5%. Ou seja, isso acaba sendo um reflexo direto da crise econômica que o Brasil estava passando. E o que vai mudar para 2017, que são os dados mais recentes que nós temos, é que o Brasil teve um crescimento econômico de 1%. Ou seja, quando esse dado saiu, 1%, uma parte da população comemorou, uma parte da mídia comemorou, uma parte dos especialistas comemorou. Outras viram isso com uma certa ressalva. Porque qual é a ideia? O Brasil cresceu 1%? Cresceu, perfeito. Porém, nós tivemos dois anos de redução. Então a gente não conseguiu recuperar essa queda ainda, a gente está num processo de recuperação. O PIB brasileiro de 2017 é comparado ao PIB que nós tínhamos em 2011. Tudo bem, então. Ou seja, vai levar um tempo para a gente conseguir recuperar essa redução do crescimento econômico e, finalmente, nós termos o PIB que nós tínhamos no passado. E no Brasil a gente tem uma divisão do PIB que é bastante característica da economia do nosso país. O Brasil é historicamente um país muito dependente do setor primário. Da agropecuária, dos minérios, commodities, etc. E esse setor foi aquele que mais cresceu no ano de 2017, teve um crescimento de 1,4%, enquanto outros setores, como indústrias, serviços ou até mesmo o consumo familiar, nós tivemos ou um crescimento muito pequeno ou, até mesmo, uma redução. Ou seja, se não fosse por esse setor, ligado à agropecuária, o crescimento do Brasil seria ainda menor. E a gente está usando 2017 como exemplo, mas nos outros a gente tem mais ou menos a mesma medida. Então, nós temos um processo de crise no Brasil. Geralmente o que evita que o Brasil tenha um prejuízo, tenha uma redução do PIB ainda maior é, justamente, a agropecuária. Isso mostra quanto o Brasil é dependente desse setor. Tudo bem?

Mariana: Eu acho que, em relação a isso que o Hugo falou, é um tema. As variações percentuais que dão bastante pano para a manga para fazer questão, né? Uma coisa bem comum que aparece em prova é assim, por exemplo, pegando o exemplo que ele deu. A gente teve um ano de redução de 10%. Quanto tempo precisa passar para que volte a ser o mesmo valor? Será que depois de um ano de aumento de 10% volta a ser o mesmo valor? Essa é uma pegadinha, vamos dizer assim, que aparece bastante nos vestibulares. E aí a gente vê que não, né? O valor percentual é sempre relativo a uma quantidade, então ‘10% de decréscimos’ se refere a uma certa quantidade. Depois que você vai ter os 10% de aumento, é em relação a outra quantidade. Então, um decréscimo de 10% e um aumento de 10% não te fazem voltar ao valor onde você estava. O que você precisa lembrar é do fator de correção. Quando eu diminuo 10%, eu estou multiplicando certo valor por 0,9. 100% menos os 10%. E quando eu aumento eu estou multiplicando por 1,1. Aumentar 10%, o fator de correção para isso é 1,1, que é 100% mais 10%. Dá 1,1, né? 110%. Além da variação percentual, que aparece bastante no ENEM, outra conta bem famosa é uma razão, é uma divisão entre dois valores. É o valor do PIB dividido pela população geral do país. Isso gera um índice chamado de renda per-capta. É o quanto cada pessoa ganharia supondo que todo mundo ganhasse a mesma coisa. Isso, no fundo, é uma média. Aliás, quem calcula, como o próprio Hugo disse, é o IBGE, que é um instituto de estatística. Então essa é uma medida estatística. A média é uma medida de posição estatística. E a gente sabe que, em alguns casos, a média não representa muito bem o que está acontecendo, né? E esse é um caso famoso. Se a gente pega os dados de 2017, a renda per-capta do país é de R$ 31 mil. 31 mil reais por ano para cada pessoa. Isso dá, mais ou menos, uns dois mil e pouquinhos para cada pessoa do Brasil por mês. E a gente vê que isso não acontece. E aí, o que a gente precisaria era das medidas estatísticas de dispersão, que são o desvio padrão ou a variância do que está acontecendo, para dizer o quanto o país é desigual, né? O quanto as rendas são desiguais. O quanto elas fogem dessa média.

Victoria: Bom, nossos professores trouxeram aqui algumas questões. E aí, Hugo, conta para a gente.

Hugo: Em Geografia, é muito comum aparecer questões que envolvam mapas e também a comparação do PIB dos estados brasileiros ou regiões brasileiras. Também pode acontecer em determinados períodos. Por exemplo, nós temos uma questão que envolve a participação das regiões no PIB do País em dois períodos diferentes: em 2002 e também em 2010. A gente consegue observar a evolução da maioria das regiões, mas o que mais chama a atenção neste exercício é a participação da região Sudeste nos dois períodos. Então, ou seja, quando nós olhamos esta questão, a gente consegue perceber nitidamente a concentração das atividades econômicos que nós temos em uma determinada região do País – no caso a região Sudeste – e também é possível observar que algumas regiões tiveram um aumento neste período retratado. Por exemplo, se a gente pegar a região Nordeste, no ano de 2002, que foi a primeira informação colocada no exercício, nós tínhamos uma participação de 13%. Já em 2010, o segundo ano que o exercício colocou para a gente, a participação aumentou de 13% para 13,5%. A ideia do exercício era justamente relacionar como que seu o crescimento econômico do Nordeste durante este período. E aí, citar um pouquinho a maior participação econômica do Nordeste, a evolução de novas atividades econômicas na região, como por exemplo, a presença de fábricas, o turismo, o comércio. Então, ou seja, o exercício utilizou informações do PIB, a distribuição regional no País – então como cada região participa – e o que ocorreu neste período para ver as mudanças observadas no mapa.

Mariana: Já para a parte mais ligada à Matemática, a interdisciplinaridade de Geografia com Matemática, a gente tem uma questão de 2015 bem do modelo Enem, que mostra um gráfico e pede para a gente analisar as informações deste gráfico. Isso diz respeito à competência 6 do Enem, habilidade 1, na parte de Matemática é, sem dúvida, a mais cobrada: análise de gráfico. Então ele dá um gráfico já com as variações percentuais, então não pede para você calcular, já está dado, e pergunta em relação às variações percentuais do PIB que foi mostrado por trimestre, quando que teve o maior valor de PIB. Esta é uma questão considerada difícil, porque a gente vê que tem um período de crescimento – isso quer dizer que as variações percentuais estão aumentado – e tem um período logo depois do terceiro trimestre de 2009 em que as variações percentuais diminuem, mas isso não quer dizer que o valor do PIB está diminuindo. Ele continua crescendo porque a variação percentual continua positiva. A diferença é que está crescendo mais devagar. Então, durante algum tempo ainda está crescendo, mas está crescendo mais devagar. Então durante todo o tempo de crescimento, o PIB vai aumentando. Então aí a gente tem, pelo gráfico, que o maior valor do PIB no período considerado foi no primeiro trimestre de 2011, porque em todo o período apresentado, desde o começo de 2009 até o último dado, que é exatamente o do primeiro trimestre de 2011, as variações percentuais foram positivas. Então, sempre aumentou. Às vezes mais rápido como durante os três primeiros trimestres de 2009, às vezes mais devagar, como no terceiro trimestre de 2009 até o terceiro de 2010.

Victoria: Nossa, eu não fazia ideia disso. Eu já ia chutar logo aqui: terceiro trimestre de 2009 porque é o número mais alto do gráfico e era esse mesmo que eu iria colocar.

Hugo: Eu também.

Victoria: Esse pessoal de humanas, viu? Próxima questão, professora Mariana.

Mariana: Então, para fechar aqui o nosso papo, a gente tem uma questão que mostra o mapa do Brasil dividido, com todas as divisões entre os estados, e fala que a cor de cada estado representa o PIB por habitante em um determinado ano. A gente vê que tem alguns estados onde o PIB por habitante, isto é, a renda per capita, é muito mais alto do que em outros. A gente vê que na região Sul e na região Sudeste, a média, aliás, as rendas estão muito acima da média. A média do País está ali pelos 8, 9 mil e no Sudeste tem estado em que a média é de 13 mil. Isso mostra bem o quanto o País é desigual. Então esse mapa mostra para a gente o PIB por habitante e o PIB por habitante é uma medida de posição na estatística. Ele é só uma média, mas ele mostra um pouco como que está o desvio das médias das rendas das pessoas pelo País.

Victoria: Muito bem, muito obrigada professores por apresentarem todas estas questões relevantes com relação a PIB, crescimento e atividade do País. Este foi mais um episódio do Estudão. Obrigado pela presença Hugo Anselmo e Mariana Sartori, do Cursinho Anglo Vestibulares. Esta é uma série de seis episódios produzida pelos Focas do oitavo Curso Estado de Jornalismo Econômico. Até a próxima.

6. Desigualdade Social: IDH e Coeficiente de Gini

Para medir a qualidade de vida dos países, a ONU criou o Índice de Desenvolvimento Humano (IDH). Apesar de ser utilizado até hoje, ele não mede a desigualdade social. Para corrigir isto, passou-se a usar o Coeficiente Gini, que leva em conta a distribuição de renda. Aprenda mais sobre estas estatísticas com o professor de geografia do cursinho Poliedro, Luiz Otávio Ciurcio Neto.

Manuela: Sejam bem-vindos ao Estudão: a série que está apresentando temas ligados a matemática financeira e economia que podem cair no Enem. É, não são apenas lágrimas, meus queridos. Em seis episódios trataremos seis tópicos diferentes, explicados por professores de cursinho. É uma aula em formato de podcast! No programa de hoje, recebemos o professor de geografia do Poliedro, Luiz Otavio Ciurcio Neto, que vai nos ensinar sobre IDH, desigualdade social e coeficiente de Gini. Olá professor, seja bem-vindo!

Luiz Otavio: Muito obrigado. Fala moçada! Falar de IDH é um momento muito importante, é um dos coeficientes mais importantes dentro do Enem. O Índice de Desenvolvimento Humano foi criado nos anos 90 pela ONU para o PNUD, Programa das Nações Unidas para o desenvolvimento e busca avaliar o desenvolvimento humano dos países. Então, qualificar a condição de vida nos países. É uma forma de quantificar através de um número a qualidade de vida em cada um dos países.

Dentro dessa criação, desde que surgiu, o IDH iniciou-se com três critérios básicos: educação, saúde e renda. Educação pensando em índice de alfabetização e taxa de matrículas, renda pensando no PIB per capita e pensando também na paridade de consumo, de poder de consumo e também a questão da longevidade, expectativa de vida. O grande problema desse IDH durante muito tempo foi: é uma média. Por ser uma média, esconde a realidade.

Países como o Brasil têm uma dificuldade muito grande de usar o IDH justamente por isso: cada região acaba tendo uma característica. E isso faz com que os verdadeiros problemas muitas vezes não apareçam. Então o IDH passou por mudanças. A partir do ano de 2010 houve uma transformação e muitos desses critérios mudaram. Então, por exemplo, continua sendo educação? Sim, continua sendo educação. Mas a alfabetização não é mais o único ponto importante. Além da alfabetização, cria-se uma ideia de anos esperados dentro da escola. Então pensa-se quantos anos o aluno deve ficar na escola, quanto ele costuma ficar na escola. Então não basta mais ter um índice de alfabetização significativo, tem que ter uma quantidade de anos na escola. A renda também mudou. A renda mudou pelo seguinte: antes era pensado em PIB, em tudo que era produzido pelo país. Agora não se pensa mais só em PIB, pensa-se também na quantidade de dinheiro que é enviada externamente e na quantidade de dinheiro que é recebida. Isso tudo vai entrar na conta facilitando, querendo ou não, o cálculo desse IDH.

Manuela: Que é a chamada balança comercial, não é professor?

Luiz Otavio: Exatamente, vai contar a balança comercial como um todo. Não só dinheiro dos bens produzidos mas também o movimento do mercado externo. E tudo isso… O IDH é justamente criticado por ser uma média, por não levar em conta outros critérios. Então é muito comum ditaduras cruéis, que não respeitam direitos humanos, estarem a frente de países como o Brasil. Então isso leva… faz com que o IDH seja muito criticado, mas ainda é um dos melhores instrumentos para a avaliação da qualidade de vida no mundo. O Brasil hoje é o 75º, esse IDH não considera desigualdade social, então por isso o Brasil é considerado um país de IDH elevado… Pode falar…

Manuela: Então quer dizer, considera a renda mas não considera a distribuição de renda, é isso?

Luiz Otavio: Considera a renda mas não considera a distribuição. Ele [o IDH] ignora as desigualdades de um país como o Brasil. Então a ONU, no ano de 2010, fez exatamente o quê? A ONU criou o IDH-D, que é o IDH que considera a desigualdade. O Brasil é um dos países que mais perde posições em função da desigualdade. E essa desigualdade a gente consegue ver num índice muito próximo, muito correlato que é o índice do coeficiente Gini.

O coeficiente Gini foi criado em 1912, por um italiano: Corrado Gini, certo? Ele pertenceu ao governo de Mussolini. Então é um coeficiente matemático que meramente mede desigualdade. E eles aí… Diferente do IDH que vai de zero a um, onde um é positivo e zero é negativo, o índice Gini é ao contrário: quanto mais próximo do zero, mais igual é o país, quanto mais longe do zero mais desigual é o país. Então, inevitavelmente, falar em coeficiente Gini é falar em igualdade. O problema é que ao mesmo tempo em que a gente fala em igualdade… eu não to falando que é positivo. Então estar perto do zero pode ser que esteja todo mundo “ruim”, todo mundo pobre, miserável, ou pode ser todo mundo “bom”, vivendo uma qualidade de vida significativa.

Nós temos um problema sério quanto ao índice Gini também, somos o 10º pior índice Gini do planeta, contando 188 países, o que nos faz muito desiguais. Então a junção de IDH e índice Gini mostra que as condições sociais brasileiras são extremamente complicadas e isso vem essencialmente da nossa desigualdade. Nosso IDH vinha vindo num crescimento constante, estagnamos aí nos últimos quatro ou cinco anos, da mesma maneira que o índice Gini, em que tínhamos crescido muito e regredimos significativamente nos últimos três anos. Então há uma mudança, há uma tendência de estagnação, tudo isso muito vinculado à economia. Os dois índices tentam tirar… afastar qualidade de vida e economia, mas num universo capitalista como é o nosso planeta não tem como ig… separar estes dois itens.

E para falar disso tudo pensando em desigualdade é fundamental entender a história do Brasil. A história do Brasil se baseia essencialmente em desigualdade. Nós fomos colonizados, fomos uma colônia de exploração que concentrou renda, concentrou terras, concentrou meios de produção. Toda essa concentração de terras, de meio de produção levou (sic) às condições de desenvolvimento precário que a gente enfrenta hoje. Então, pensando em Brasil, pensando em Enem, é fundamental que a gente entenda a leitura dos gráficos vinculados a esses índices. O Brasil mostra índices complicados e, para mostrar… observar mais de perto esses índices, é fundamental que a gente veja dentro dos municípios. Os índices de cada um dos municípios vai fazer com que você tenha uma visão mais geral e mais verdadeira do Brasil.

Manuela: Então se fosse para apostar como é que este conteúdo cairia dentro do Enem, você imagina aí uma análise de gráficos, alguma coisa neste sentido, professor?

Luiz Otavio: É, a tendência… O Enem gosta muito da leitura de gráficos e tabelas. E, inevitavelmente, os dois índices são muito característicos disso. É muito comum curvas de crescimento do índice Gini, curvas de crescimento do IDH. Em 2016 uma das questões mais complexas do Enem foi, justamente, vinculada a índice Gini. Porque o índice Gini, antes de ser um índice de desenvolvimento e distribuição de renda, é um índice matemático. Então é um tipo de questão, é um tipo de elemento e conteúdo que o Enem gosta, justamente pela forma de cobrança, que é interpretação de dados. O Enem não quer a “decoreba” de conteúdo, quer interpretação de dados. Então você tem que entender o índice para entender os dados.

Manuela: Analisando num contexto de América Latina, como é que você avalia a questão do Brasil no IDH? Queria que você comentasse um pouquinho mais, você já começou mas…

Luiz Otavio: Claro, claro. O Brasil dentro do IDH… nós passamos aí… nós somos o 5º IDH da América do Sul, somos o 5º IDH da América Latina, perdemos de países como a Argentina, Chile, Uruguai, que apresentam condições de vida mais adequadas que a nossa.. Cuba… São países que têm um índice de desenvolvimento mais significativo, políticas de desenvolvimento diferentes da nossa. Por outro lado dentro.. pensando no índice Gini nós temos condições mais graves, mais desiguais. Somos o terceiro mais desigual da América Latina: perdemos apenas de Colômbia e Paraguai. Só que, ao mesmo tempo, nós temos países muito iguais dentro da América Latina, só que são muito iguais justamente por serem extremamente miseráveis. Então, o Brasil apresentou um crescimento que nenhum… na verdade só a Coréia do Sul apresentou um crescimento, uma melhoria de índices como IDH e Gini iguais ao do Brasil. Só que o Brasil agora vive um momento e retração inclusive nas condições de vida e desenvolvimento humano.

Manuela: Bom professor, e analisando no contexto de redação… Se esse tema da desigualdade social chegar a cair como tema da redação, quais você acha que são os argumentos que os alunos podem utilizar nos textos deles?

Luiz Otavio: É… O ponto importante que os alunos têm que ver, de fato, dentro de uma redação é a importância do Estado na atuação do combate à essa desigualdade. A desigualdade é fruto, essencialmente, da falência de um Estado que não consegue dar as condições básicas de cidadania ao seu povo. Então, é muito comum pensar em melhoria de qualidade de vida só como distribuição de renda e distribuição de renda não se limita a distribuição de dinheiro, mas sim melhoria de qualidade de vida, com serviços de qualidade, serviços públicos que atendam os direitos básicos de cidadania. A ONU quando fala em desenvolvimento humano ela fala na ideia do que seria a condição ideal que uma pessoa precisa ter para viver, para sobreviver, viver com dignidade. A essência seria: o papel do Estado na construção da qualidade de vida e no combate à desigualdade. E o nosso Estado atua, essencialmente, de forma contrária. Então nós demonstramos que não temos condição no combate da desigualdade social.

Manuela: Esse foi o último episódio da série Estudão! Obrigada ao professor Luiz Otavio pela presença. Essa é uma série de seis episódios produzida pela equipe de focas do oitavo Curso Estado de Jornalismo Econômico. Esperamos que vocês tenham gostado! Até a próxima, tchau tchau.